Епіциклічна частота

Епіциклічна частота — це частота, з якою коливатися тіло, слабко зміщене відносно колової орбіти в симетричному гравітаційному потенціалі. При цьому рух досліджуються в системі відліку, пов'язаній з «ведучим центром» — уявною точкою на незбуреній коловій орбіті з тим самим періодом обертання. Назва походить від епіциклів, якими описувався руз планет в системі Птолемея, і на які буває схожим обертання тіла навколо ведучого центру.

Поняття епіциклічної частоти буває зручним для опису різних астрофізичних дисків: руху частинок в кільцях планет, руху газу в акреційному диску, зоряної динаміки в галактичному диску. Іноді це поняття також використовують для дослідження кеплерівських орбіт в небесній механіці або динаміці космічних кораблей.

Епіциклічна частота $\kappa$ виражається через період обертання $\Omega$ і радіус R наступною формулою:

$\kappa ^{2}\equiv {\frac {2\Omega }{R}}{\frac {d}{dR}}(R^{2}\Omega )$

Для кеплерівської орбіти $\kappa =\Omega$, епіциклічний і орбітальний рух синхронізовані, і орбіта замкнута.

Опис

В астрофізиці може розглядатися рух тіла у певному гравітаційному потенціалі, наприклад, рух у галактиці. Однак навіть якщо гравітаційний потенціал є симетричним щодо будь-якої виділеної осі, то рівняння, що описують рух тіла, можуть мати аналітичні розв'язки лише в окремих випадках — наприклад, в задачі двох тіл, коли вся маса, що створює поле тяжіння, знаходиться в одній точці. Ця обставина змушує розглядати рух у спрощеному вигляді. Якщо траєкторія руху зорі в галактиці близька до кола, можна розглянути колову орбіту в площині галактики, за якою рух відбувався б з тією ж частотою $\Omega$, та досліджувати коливання зорі навколо точки на цій коловій орбіті. Частота таких коливань у площині диска називається епіциклічною частотою та позначається $\kappa$. Наприклад, для потенціалу точкової маси, в якому $\Omega \propto R^{-3/2}$, і рух пробного тіла відбувається за законами Кеплера, $\kappa =\Omega$. В інших випадках, які можуть виникнути на практиці, найчастіше $\Omega \lesssim \kappa \lesssim 2\Omega$.

Розгляд задачі у такому вигляді називається епіциклічним наближенням. Назва пов'язана з тим, що рух у площині галактики щодо колового руху відбувається за еліпсом і тим самим нагадує рух епіциклом.

Вивод

У загальному вигляді рівняння руху зорі у циліндричних координатах $R,\theta ,z$ у потенціалі $\Phi =\Phi (R,\theta ,z)$ виглядають наступним чином:

${\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}=R\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\,,$

${\frac {d}{dt}}\left(R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\,,$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,.$

Для осесиметричного потенціалу $\Phi =\Phi (R,z)$ друге з цих рівнянь має 0 в правій частині і після інтегрування дає $R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=h$, де $h$ — стала, звана інтегралом площ. Рух орбітою, близькою до колової, можна представити як суму колового руху по орбіті навколо центру галактики у площині диска і малих відхилень. У циліндричних координатах $R,\theta ,z$ рух буде виражено формулами:

$R=R_{0}+\delta R\,,$

$\theta =\theta _{0}+\delta \theta =\omega _{0}(t-t_{0})+\delta \theta \,,$

$z=\delta z\,.$

Тут $R_{0}$ — Радіус відповідної колової орбіти, $\theta _{0}$ — азимутальний кут відносно центру галактики для рівномірного колового руху. Для заданої орбіти можна визначити $R_{0}$ так, щоб $h$ для колової орбіти з радіусом $R_{0}$ збігався з $h$ для заданої орбіти. Також за допомогою $h$ можна переписати перше рівняння руху.

${\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}={\frac {h^{2}}{R^{3}}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\,,$

$R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=h\,,$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,.$

Частота обертання галактики $\omega _{0}$ на радіусі $R_{0}$ визначається як $\omega _{0}=h/R_{0}^{2}$. Розглядаючи колові орбіти, з першого рівняння можна отримати такий вираз, в якому нижній індекс 0 означає взяття похідної в точці $R_{0}$:

$h^{2}=-R_{0}^{3}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}\,.$

Потенціал $\Phi (R,z)$ можна розкласти в ряд за степенями $R-R_{0}$ і $z$ і залишити лише перші степені. Тоді вийде:

${\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}=\left[1-\left({\frac {R}{R_{0}}}\right)^{-3}\right]\left({\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}+\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}\right)(R-R_{0})\,,$

${\frac {d\theta }{dt}}=\omega _{0}\left({\frac {R}{R_{0}}}\right)^{-2}\,,$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}z\,.$

Повертаючись до значень малих відхилень від колового руху, можна переписати рівняння так:

${\frac {d^{2}\delta R}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}+{\frac {3}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}\delta R\,,$

${\frac {d\delta \theta }{dt}}=-2{\frac {\omega _{0}}{R_{0}}}\delta R\,,$

${\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}\delta z\,.$

Значення в дужках зазвичай є від'ємними, і тоді перше і третє рівняння є рівняннями гармонічних коливань. Можна ввести такі позначення:

$\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}+{\frac {3}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}=-\kappa ^{2}\,,$

$\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}=-\nu ^{2}\,.$

Тоді рішення рівнянь набудуть наступного вигляду:

$\delta R=a\sin \kappa (t-t_{1})\,,$

$\delta \theta =2{\frac {\omega _{0}}{\kappa R_{0}}}a\cos \kappa (t-t_{1})\,,$

$\delta z=b\sin \nu (t-t_{2})\,.$

У цих формулах $a,b,t_{1},t_{2}$ — сталі інтегрування. Вид формул означає, що при відхиленні від колової орбіти тіло в галактичній площині рухається еліпсом навколо точки на коловій орбіті з частотою $\kappa$, а вздовж осі $z$ здійснює гармонічні коливання із частотою $\nu$. Величина $\kappa$ і називається епіциклічною частотою, а $\nu$ — вертикальною частотою, її квадрат називають динамічним параметром і часто позначають $C^{2}$. Частоти обертання навколо центру галактики, коливань у площині галактики й перпендикулярно до неї зазвичай не збігаються, так що орбіта в загальному випадку не замкнута.

Застосування

Епіциклічну частоту в околицях Сонця можна оцінити через сталі Оорта: $\kappa ^{2}=4B(B-A)$. В цій області $\kappa$ дорівнює приблизно 32 км/с/кпк, і період епіциклічних коливань становить приблизно 80 % періоду обертання Галактики. Динамічний параметр $C^{2}$ залежить від дисперсії швидкостей $\sigma _{z}$ у напрямку, перпендикулярному до диску Галактики, та розподілу густини $\rho$:

$C^{2}=-\sigma _{z}^{2}{\frac {\partial ^{2}\ln \rho }{\partial z^{2}}}\,.$

В околицях Сонця період вертикальних коливань становить 45 % періоду обертання Галактики. Густину речовини в диску Галактики поблизу Сонця можна виразити через динамічний параметр і сталі Оорта:

$4\pi G\rho =C^{2}-2(A^{2}-B^{2})\,.$

Оцінка густини, отримана таким чином, називається динамічною і становить для околиць Сонця 6 × 10⁻²⁴ г/см³.

Література

• Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics: Second Edition. — Princeton University Press, 2008. — 903 с. — ISBN 978-0-691-13027-9.